Sejam $$f,g: M\longrightarrow N$$ contínuas, em que $$M$$ e $$N$$ são espaços métricos. Dado $$a\in M$$, suponha que toda bola de centro $$a$$ contenha um ponto $$x$$ tal que $$f(x)=g(x)$$. Conclua que $$f(a)=g(a)$$. Use esse fato para mostrar que, se $$M=N=\mathbb{R}$$ e $$f(x)=g(x)$$ para todo racional, então $$f=g$$.
Solução:
i) Pela continuidade, dado $$\epsilon>0$$, existem $$\delta_{1},\delta_{2}$$ maiores que 0, para os quais, se $$x\in B(a,\delta_{1})$$, então $$f(x)\in B(f(a),\epsilon)$$, e, se $$x\in B(a,\delta_{2})$$, então $$g(x)\in B(g(a),\epsilon)$$. Escolhendo-se $$\delta = min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$$, conclui-se que, se $$x\in B(a,\delta)$$, tem-se $$f(x)\in B(f(a),\epsilon)$$ e $$g(x)\in B(g(a),\epsilon)$$.
Escolhendo um $$x$$ tal que $$f(x)=g(x)$$, cuja existência é garantida pelo enunciado, aplica-se a desigualdade triangular do seguinte modo:
\[d(f(a),g(a))\leq d(f(a),f(x))+d(f(x),g(a))=d(f(x),f(a))+d(g(x),g(a))<2\epsilon,\]
em que $$d$$ é a métrica no espaço $$N$$.
Finalmente, conclui-se que $$d(f(a),g(a))<2\epsilon$$, para qualquer $$\epsilon>0$$. Se houver $$0<r=d(f(a),g(a))$$, basta tomar $$\epsilon = r/2$$, para concluir que $$r=d(f(a),g(a)) < 2\cdot (r/2)=r$$, o que é um absurdo. Logo, a única opção é que se tenha $$r=0$$, donde se conclui que $$f(a)=g(a)$$, uma vez que $$d(f(a),g(a))=0$$.
ii) No caso dos reais, se $$a$$ é um número irracional, sabe-se que toda bola $$B(a,\delta)$$ contém algum número racional, de modo que $$f(x)=g(x)$$. Assim, chega-se à conclusão de que $$f(a)=g(a)$$ pelo mesmo método anteriormente exibido.
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