Dados os espaços métricos $$M,N_{1}$$ e $$N_{2}$$, uma função $$f:M\longrightarrow N_{1}\times N_{2}$$ é dada por suas coordenadas do seguinte modo: $$f(p)=(f_{1}(p),f_{2}(p))$$, para todo $$p\in M$$ e para as funções $$f_{1}:M\longrightarrow N_{1}$$ e $$f_{2}:M\longrightarrow N_{2}$$.
Portanto, $$f$$ é contínua se, e somente se, $$f_{1}$$ e $$f_{2}$$ forem contínuas.
Demonstração:
Adota-se a métrica do máximo para o espaço métrico do produto cartesiano. Note que, posteriormente, com a equivalência de normas, o teorema poderá ser utilizado de maneira geral em qualquer espaço produto.
i) Sê $$f$$ é contínua, então, para qualquer $$\epsilon>0$$, existe $$\delta>0$$ tal que, se $$d(p,p_{0})<\delta$$, para qualquer $$p_{0}\in M$$ fixado, implica que $$d_{max}(f(p),f(p_{0}))<\epsilon$$. Com efeito, $$d_{max}<\epsilon$$ implica que $$d_{i}(f_{i}(p),f_{i}(p_{0}))<\epsilon$$, para $$i\in\{1,2\}$$, donde se conclui que as funções coordenadas são contínuas.
ii) Reciprocamente, sejam $$f_{1}$$ e $$f_{2}$$, as funções coordenadas, contínuas. Então, dado $$\epsilon>0$$, existem $$\delta_{1},\delta_{2}$$ >0 tais que, se $$d(p,p_{0})<min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$$, então $$d_{1}(f_{1}(p),f_{1}(p_{0})) ,d_{2}(f_{2}(p),f_{2}(p_{0}))<\epsilon$$, para qualquer $$p_{0}\in M$$ fixado.
Daqui, evidentemente, $$d_{max}=max\{d_{1}(f_{1}(p),f_{1}(p_{0}),d_{2}(f_{2}(p),f_{2}(p_{0})\}<\epsilon$$, o que demonstra a continuidade de $$f$$.
