(UNIFEI – MG) Calcule o valor de m, de modo que
\[\frac{(2m)!}{2^{m}\cdot m!\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot …\cdot (2m+1)}=\frac{1}{9}.\]
Solução:
Observa-se que \[(2m)! = 2m\cdot (2m-1)\cdot (2m-2)\cdot (2m-3)\cdot (2m-4)\cdot….2\cdot 1.\]
Os fatores da forma $$2m-2k$$ pode ser escritos como $$2(m-k)$$, e há um total de m-1 fatores deste tipo, então o produto desses m fatores será $$2(m-1)2(m-2)….= 2^{m}(m-1)(m-2)…\cdot 1 = 2^{m}\cdot(m-1)!.
Assim, podemos escrever
\[(2m)! = 2m\cdot 2^{m-1}(m-1)! \cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot …\cdot (2m-1).\]
Assim,
\[\frac{(2m)!}{2^{m}\cdot m!\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot …\cdot (2m+1)}=\]
\[\frac{1\cdot 3\cdot … (2m-1)}{1\cdot 3\cdot …\cdot (2m -1) \cdot (2m+1)}=\]
\[\frac{1}{2m+1}=1\9.\]
Essa equação torna-se $$2m+1=9$$, o que fornece $$m=4$$.
