FUVEST 2010– Q.74 (1ª Fase)

Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos
1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3 . De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

a) 551
b) 552
c) 553
d) 554
e) 555

Solução:

O total de senhas com nenhum restrição é dado por $$5^4=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$$.

Fixamos duas células com a sequência [1 3] e ficamos apenas com outras suas possibilidades. Temos as seguintes configurações: [1 3] _ _  , _ _ [1 3] e _ [1 3] _ . Cada uma delas tem um total de $$5\cdot 5=25$$ possibilidades, dado que as casinhas vazias comportam 5 dígitos. O total é de 75.

Porém, note que, nessa contagem, estamos considerando por duas vezes a sequência 1313, então o total de senhas que serão excluídas das possibilidades de Maria é 75-1 = 74.

Finalmente, retiramos do total de senhas aquelas que não interessam para ela: $$5^4-74=551$$.