1ª FaseFunções
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FUVEST 2010– Q.77 (1ª Fase)

A função f: R →R  tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x+1) – f(x) = 6x-2 , para todo número real. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a

a) 11/6
b) 7/6
c) 5/6
d) 0
e) -5/6



Solução:

A forma geral da função parabólica é f(x)=ax²+bx+c. Então podemos realizar algumas substituições com a lei fornecida no enunciado. Observe que f(-1) = a-b+c e f(0) = c, então, pela lei do enunciado,  $$c – (a-b+c) = f(0)-f(-1) = -8$$. Daqui, $$b-a = -8$$.

Ademais, f(1) = a+b+c, então, pela lei do enunciado, a+b+c – c=f(0+1) – f(0) = 2, logo $$a+b = -2$$.

Se somamos as duas equações anteriores, obtemos $$(b-a) + (a+b) = -8 + -2$$, que resulta em $$2b=-10$$, logo $$b=-5$$. Substituindo esse valor na primeira equação, chegamos a $$a = 3$$.

Nossa função será $$f(x) = 3x^{2}-5x+c$$. O “x” do vértice é dado por $$x_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{5}{6}$$.

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