Tendo em vista as aproximações log(2)=0,30 e log(3) = 0,48, então o maior número inteiro n, satisfazendo 10n ≤12418 é igual a
a) 424
b) 437
c) 443
d) 451
e) 460
Solução:
Aplicando o logaritmo de base 10, a desigualdade é mantida, pois a base 10 indica uma função logarítmica crescente. Então teremos
\[log(10^{n})\leq log(12^{418}).\]
Aplicando a propriedade da exponencial, temos $$log(12^{418}) = 418\cdot log(12$$.
Como 12 = 2².3, ao aplicarmos a propriedade do logaritmo do produto, obtemos $$log(12) = log(2^{2}\cdot 3) = log(2^{2})+log(3) = 2\cdot log(2)+log(3) = 2\cdot 0,3 + 0,48 = 1,08$$.
Ainda temos $$log(10^{n})=n\cdot log(10) = n$$.
Nossa desigualdade transforma-se em
\[n\leq 418\cdot 1,08 = 451,44.\]
O maior inteiro que satisfaz a desigualdade é $$n=451$$,
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