A notícia “Satélite brasileiro cai na Terra após lançamento falhar”, veiculada pelo jornal O Estado de S. Paulo de 10/12/2013, relata que o satélite CBERS-3, desenvolvido em parceria entre Brasil e China, foi lançado no espaço a uma altitude de 720 km (menor do que a planejada) e com uma velocidade abaixo da necessária para colocá-lo em órbita em torno da Terra. Para que o satélite pudesse ser colocado em órbita circular na altitude de 720 km, o módulo de sua velocidade (com direção tangente à órbita) deveria ser de, aproximadamente,
a) 61 km/s
b) 25 km/s
c) 11 km/s
d) 7,7 km/s
e) 3,3 km/s
Note e adote:
raio da Terra = $$6\cdot 10^{3}\, km$$
massa da Terra = $$6\cdot 10^{24}\, kg$$
constante de gravitação universal $$G = 6,7\cdot 10^{-11}\, m^{3}/(s^{2} kg)$$
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Solução:
Aqui temos o satélite sendo mantido em órbita por uma força centrípeta. Quem faz esse papel é a força gravitacional da terra que age sobre o satélite. Portanto, temos:
\[F_{g} = F_{c} \longrightarrow \frac{GMm}{d^{2}} = \frac{mv^{2}}{d}\]
Observe que a distância d é do satélite até o centro da terra, portanto
$$d = R + h = 6\cdot 10^{6} + 0,72\cdot 10^{6} = 6,72\cdot 10^{6}\, m$$.
Podemos também cancelar a massa do satélite, que aparece em ambos os lados e um d, que aparece em ambos os lados.
\[\frac{GM}{d} = v^{2} \longrightarrow v^{2} = \frac{6,7\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}}{6,72\cdot 10^{6}} \longrightarrow v = 7,7\, km/s\]
Resposta: letra D.
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