Homomorfismo de Grupos – Exercício 3

Seja $$G$$ um grupo finito. Definindo $$i_{g}(x) = gxg^{-1}$$, prove que a relação é um automorfismo injetor e sobrejetor de $$G$$ em $$G$$.

Solução:

1) A relação é uma função. De fato, para qualquer $$x\in G$$, há um elemento $$z=gxg^{-1}$$ tal que $$i_{g}(x)=x$$. Além disso, tomados os elementos $$x=x’$$ em $$G$$,

\[i_{g}(x)=gxg^{-1}=gx’g^{-1}=i_{g}(x’).\]

2) É um homomorfismo de grupos. De fato, tomando $$x,y\in G$$, temos

\[i_{g}(xy)=g(xy)g^{-1}=(gx)(yg^{-1})=\]

\[(gxg^{-1})(gyg^{-1})=i_{g}(x)\cdot i_{g}(y).\]

3) Provaremos que o núcleo é igual a $$\{1_{G}\}$$.

De fato, se $$x\in ker(i_{g})$$, temos

\[i_{g}(x)=gxg^{-1}=1_{g} \Longrightarrow\]

\[x=g^{-1}g=1_{g}.\]

A função é injetora.

4) Seja $$z\in G$$, provaremos que existe $$x$$ tal que $$i_{g}(x)=z$$. Com efeito, se tomarmos $$x=g^{-1}zg$$, teremos

\[i_{g}(x)=gg^{-1}zgg^{-1}=z.\]

Provando que a função é sobrejetora.