Limite de tg(πx)/2x

Calcule $$lim_{x\to 0}\frac{tg(\pi\cdot x)}{2x}$$.

Solução:

Adotamos a mudança de variável $$u(x)=\pi\cdot x$$, de modo a obtermos $$x = \frac{u}{\pi}$$. Observamos que $$u\to 0 \Longleftrightarrow x\to 0$$.

Reescrevemos a fração com a nova variável $$u$$, de modo a obtermos

\[\frac{tg(u)}{2\frac{u}{\pi}}=\frac{\pi}{2}\frac{tg(u)}{u}.\]

Sabemos que $$lim_{u\to 0}\frac{tg(u)}{u} = 1$$. Então, pelo teorema da mudança de variável, teremos

\[lim_{x\to 0}\frac{tg(\pi\cdot x)}{2x}=\frac{\pi}{2}\cdot lim_{u\to 0}\frac{tg(u)}{u} = \frac{\pi}{2}.\]