Lógica Matemática – Teorema 2 – Filtros

Seja $$\mathcal{F}$$ um filtro das partes de $$I$$.

Um filtro próprio, para o qual vale que ou $$A\in \mathcal{F}$$, ou $$A^C\in \mathcal{F}$$, para qualquer $$A\subset I$$, é chamado de ultrafiltro.

O ultrafiltro $$\mathcal{F}$$ satisfaz às seguintes propriedades:

• $$A\cup B\in \mathcal{F}⟺A\in \mathcal{F}$$ ou $$B\in \mathcal{F}$$.
• $$A\in \mathcal{F}⟺A^C\notin \mathcal{F}$$.

Demonstração:

1)

a) Se $$A\cup B\in \mathcal{F}$$ e $$A\notin \mathcal{F}$$, é certo que $$A^C\in \mathcal{F}$$.

O conjunto $$(A\cup B)\cap A^C\in \mathcal{F}$$, pelo (Teorema 1).

Ademais, $$(A\cup B)\cap A^C=(A\cap A^C)\cup (B\cap A^C)=\mathrm{\varnothing }\cup (B\cap A^C)=B\cap A^C$$.

Dado que $$B\cap A^C=(A\cup B)\cap A^C\in \mathcal{F}$$, novamente, pelo Teorema 1, tem-se que $$B\in \mathcal{F}$$.

Analogamente, demonstra-se que $$A\in \mathcal{F}$$, se for assumido que $$A\cup B\in \mathcal{F}$$ e $$B\notin \mathcal{F}$$.

b) Se $$A$$(ou$$B$$) $$\in \mathcal{F}$$, o axioma 2 de filtros garante que $$A\cup B\in \mathcal{F}$$, dado que $$A\subseteq (A\cup B)\subseteq I$$.

2)

Se $$A\in \mathcal{F}$$, não se pode ter $$A^C\in \mathcal{F}$$.

Com efeito, como $$\mathcal{F}$$ é um filtro próprio (i.e: não contém o vazio), o Teorema 2 garante que, se $$A,A^C\in \mathcal{F}$$, ter-se-ia $$\mathrm{\varnothing }=A\cap A^C\in \mathcal{F}$$.

A recíproca da segunda afirmação é obtida de modo análogo, iniciado-se com $$A^C\in \mathcal{F}$$.