Considere U , V e W espaços vetoriais de dimensão finita. Sejam T : U → V e P : V → W transformações Lineares. Mostre que,
(a) se T e P são injetoras, então dim(U) ≤ dim(V ) ≤ dim(W).
(b) se T e P são sobrejetoras, então dim(U) ≥ dim(V ) ≥ dim(W).
Solução:
a) Se ambas são injetoras, seus núcleos correspondem ao subespaço nulo, ou seja: $$dim(N(T))=dim(N(P))=0$$. Aplicando o teorema do núcleo e da imagem sobre $$T$$, temos $$dim(U) = dim(N(T))+dim(\mathcal{Im}(T) = dim(\mathcal{Im}(T)$$.
Aplicando o mesmo teorema sobre $$P$$, temos $$dim(V) = dim(N(P))+dim(\mathcal{Im}(P) = dim(\mathcal{Im}(P)$$.
Sabemos que $$\mathcal{Im}(T)$$ é um subespaço vetorial de $$V$$ e que $$\mathcal{Im}(P)$$ é subespaço vetorial de $$W$$, logo $$dim(U)=dim(\mathcal{Im}(T))\leq dim(V)$$ e $$dim(V)=dim(\mathcal{Im}(P))\leq dim(W)$$. O resultado desejado segue dessas duas afirmações.
b) Assumindo que ambas sejam sobrejetoras, teremos $$\mathcal{Im}(T)=V$$ e $$\mathcal{Im}(P)=W$$. Aplicando-se novamente o Teorema do Núcleo e da Imagem, teremos
\[dim(U)=dim(N(T)) + dim(V) \text{e}\]
\[dim(V) = dim(N(P)) + dim (W).\]
Daqui, temos que
\[dim(U) \geq dim (V) \geq dim(W).\]
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