MackenzieNúmeros Complexos
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Números Complexos – Exercício 7

Sendo i² = – 1, o módulo do número complexo z, a solução da equação $$2z + i\bar{z} = 6 + 9i$$, é:

a)√17
b) √13
c) √15
d) √11
e) √19

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Solução:

Recordando-nos de que se $$z=a+bi$$ então $$\bar{z} = a-bi$$, a expressão do lado esquerdo da equação do enunciado torna-se

\[2(a+bi)+i(a-bi)=\]

\[2a+2bi+ia-bi^{2}=\]

\[(2a+b)+i(a+2b).\]

Este último resultado, a fim de que seja igual a 6 + 9i, deve ter a sua parte real igual a 6 e a sua parte imaginária igual a 9, isto é:

$$2a+b=6$$,

$$ a+2b = 9$$.

Da primeira equação, temos $$b = 6-2a$$, e substituindo na segunda, temos

\[a+2(6-2a)=9\Longrightarrow\]

\[-3a = -3\Longrightarrow a = 1.\]

Daqui, $$b=6-2\cdot 1 = 4$$.

O número complexo que resolve a equação é, portanto, o número $$z = 1 + 4i$$. Seu módulo é, portanto

\[|z| = \sqrt{1^{2}+4^{2}}=\sqrt{17}.\]

Resposta: a)

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