O que são logaritmos?

Logaritmos são uma ferramenta matemática poderosa usada para resolver problemas relacionados à exponenciação. Em termos simples, um logaritmo responde à pergunta: “Qual é o expoente necessário para elevar uma determinada base a um valor específico?”

Por exemplo, considere a potência 2³=8. Aqui, 2 é a base, 3 é o expoente e 8 é o resultado. O logaritmo dessa expressão na base 2 seria escrito como log_⁡2 8=3, o que significa que o expoente que torna 2 igual a 8 é 3. Neste exemplo, o número $$8$$ é chamado de logaritmando. Note que ele é o resultado da potenciação.

De maneira geral, o logaritmo de um número $$x$$ em uma base $$b$$ é o expoente $$y$$ tal que $$b^{y}=x$$. Essa relação é expressa na definição de um logaritmo, muito usada em cálculos:

log_⁡b x= y se, e somente se b^y=x

Alguns exemplos simples ajudam a ilustrar essa ideia:

• log⁡₂16=4, porque 2⁴=16;
• log⁡₃81=4, porque 3⁴=81;
• log⁡₁₀1000=3, porque 10³=1000.

Condição de Existência

Para que um logaritmo exista, precisamos impor algumas condições sobre a base $$b$$ e sobre o logaritmando $$x$$. Como exemplo, note que não existe uma resposta para $$log_{2}(-5)$$, uma vez que teríamos de ter $$2^{y}=-5$$, e isso seria impossível, já que o produto de números positivos nunca será negativo.

Podemos ainda citar um outro exemplo: $$log_{1}3=y$$, então teríamos $$1^{y}=3$$, algo que é evidentemente impossível, pois potências de 1 só podem resultar nele próprio.

Assim, observamos que as condições de existência para um logaritmo $$\mathbf{log_{b}x}$$ são estas:

• $$b\neq 1$$ e $$b>0$$;
• $$x>0$$.