Matemática Financeira
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Poupança com IPCA descontado

É comum vermos na imprensa notícias que versam sobre a rentabilidade da poupança versus a inflação: “Poupança perde para a inflação“, “rentabilidade da poupança é menor do que IPCA“, etc. Mas você sabe o que isso significa, de fato? Neste artigo, vamos discutir um pouco sobre a matemática por trás do cálculo da rentabilidade da poupança com inflação descontada.

Reajustes

Antes, precisamos nos recordar de que um valor $$v_{0}$$ , quando reajustado por algum índice $$r$$, transforma-se em $$V_{f}$$ pela seguinte fórmula:

\[V_{f}=V_{0}\cdot (1+r).\]

Exemplo 1

No mês de Abril de 2021, a poupança teve uma rentabilidade de 0,159% a.m (ao mês). Se a minha aplicação do início do mês era de R$ 5.000,00, qual será o meu montante reajustado após o mês de Abril? Basta fazermos o reajuste: $$V_{f}=5000\cdot (1+0,159%) = R\$ 5025,95$$.

Poder de Compra

Se a poupança provoca o aumento do montante aplicado, a inflação, por outro lado, na maioria das vezes, reduz o valor real da moeda, o poder de compra, ainda que o dinheiro mantenha seu valor nominal. Por exemplo: se com R$ 10,00 você compra determinado produto, mas o índice de inflação reajusta aquele valor, os seus R$ 10,00 não são mais capazes de adquirir o mesmo produto após a mudança de preço. Embora a nota permaneça com o valor nominal intacto, o poder de compra foi claramente prejudicado pelo reajuste inflacionário.

De modo geral, se um índice percentual de inflação $$i$$ ocorrer em um determinado período, o poder de compra se altera de acordo com o índice percentual $$k$$, no seguinte modo:

\[k = \frac{1}{1+i}-1.\]

Exemplo 2

A inflação oficial de Março e Abril de 2021 teve índices de 0,93% e 0,31%, respectivamente. Qual foi a perda do poder de compra relativa ao bimestre considerado?

Basta fazermos $$k = \frac{1}{(1+0,93%)(1+0,31%)} – 1 = -1,228% $$. Isso significa que o meu poder de compra, baseado na inflação oficial, sofreu redução de 1,228% no bimestre considerado.

Rentabilidade e Poder de Compra

Como a inflação e a rentabilidade poupança são processos que ocorrem cotidianamente, é natural medirmos se a rentabilidade é suficiente para sobrepor-se ao aumento da inflação ou se a poupança é incapaz disso, ao ponto de ser inviável manter o dinheiro aplicado nesse fundo de investimento.

Essa pergunta é respondida ao calcularmos o poder de compra com o reajuste da poupança.

\[k=\frac{1+r}{1+i}-1.\]

Exemplo 3

A rentabilidade da poupança teve índices, em Março e Abril de 2021, de 0,1159% e 0,1590%, respectivamente. Por sua vez, a inflação oficial desses meses foi de 0,93% e 0,31%, respectivamente. O que houve com o poder de compra dos brasileiros no período considerado?

Basta fazermos $$ k=\frac{(1+0,1159%)(0,1590%)}{(1+0,93%)(1+0,31%)}-1 = -0,956% $$. Isso significa que, a despeito da rentabilidade da poupança ter aumentado a quantidade de dinheiro naquele fundo de investimento, a inflação superou esse aumento e provocou uma perda de poder de compra de 0,956%.

“Poupança perde 4,8% nos últimos 12 meses”.

Na matéria do

Fontes: IBGE e Banco Central

O numerador, o índice de rentabilidade acumulado + 1, é dado pelo produto $$(1+0,2162%)(1+0,1733%)…(1+0,159%)= (1+1,632%)$$. O denominador, que representa a inflação acumulada + 1, é dado pelo produto $$(1-0,38%)(1+0,26%)…(1+0,93%)(1+0,31%)=(1+6,759%)$$. Daqui, a perda no poder de compra é dada por:

\[k=\frac{(1+1,632%)}{(1+6,759%)}-1=0,952-1=-0,048 = -4,8

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