Matemática Básica
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Produtos Notáveis – Exercício 6

(ESPM-SP–2015) Em relação ao número N = 248 – 1, pode-se afirmar que
A) ele é primo.
B) ele é par.
C) ele é múltiplo de 7.
D) ele não é múltiplo de 224 + 1.
E) ele não é divisível por 9.



Solução:

Como 1²=1, aplicando a diferença de quadrados, teremos $$N = 2^{48} – 1^{2} = (2^{48} -1)(2^{48} + 1)$$.

Podemos aplicar novamente o mesmo produto notável, então $$2^{48} – 1 = (2^{24}-1)(2^{24}+1)$$.

Seguindo com a mesma ideia, temos $$2^{24}-1 = (2^{12}-1)(2^{12}+1)$$.

Ainda mais: $$2^{12}-1 = (2^{6}-1)(2^{6}+1)$$.

E, finalmente, $$2^{6}-1 = (2^{3}-1)(2^{3}+1)=7\cdot 9$$.

Podemos, então, escrever a seguinte igualdade:

\[ 2^{48} – 1= 7\cdot 9\cdot (2^{6}+1)(2^{12}+1)(2^{24}+1)(2^{48} + 1).\]

Concluímos que $$N$$ é divisível por 7.

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