A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é
A) 29.
B) 97.
C) 132.
D) 184.
E) 252.
Solução:
Denotemos os números em questão $$x$$ e $$y$$. Do enunciado, sabemos que $$x^{2}-y^{2}=21$$. Aplicando-se a diferença de quadrados, teremos $$(x-y)(x+y) = x^{2}-y^{2}=21$$.
Como $$x$$ e $$y$$ são números naturais e 21 é um número resultante do produto de dois primos ($$21 = 3\cdot 7$$), temos apenas duas possibilidades:
- ou teremos $$x+y=7$$ e $$x-y = 3$$,
- ou teremos $$x+y=3$$ e $$x-y = 7$$.
Observamos que apenas o primeiro sistema de equações fornece solução no conjunto dos naturais, as quais são $$x=5$$ e $$y=2$$. Daqui, concluímos que $$x^{2}+y^{2}=5^{2}+2^{2}=29$$.
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