Progressão Geométrica – Exercício 11

(Mackenzie) Numa progressão geométrica de termos positivos, cada termo é igual à soma dos dois termos seguintes. Então a razão da progressão vale:

a) √5
b) -1 + √5
c) (1+√5)/2
d) √(5/2)
e) (-1+√5)/2

Solução:

Escrevemos a sequência a partir do primeiro termo (a₁) e da razão (q): (a₁ , a₁q, a₁q²).
Pela regra fornecida no enunciado, a₁=a₂+a₃. Podemos reescrever esta última equação do seguinte modo:

\[a_{1}=a_{1}q+a_{1}q^{2}\Longrightarrow a_{1}=a_{1}(q+q^{2}).\]

Dado que a₁≠ 0, temos $$q^{2}+q-1=0$$. Resolvendo por Bháskara, temos $$q=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$. Como os termos da sequência são positivos, a razão deve ser positiva, portanto $$q=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$.