Progressão Geométrica – Exercício 13

(ESPM-SP–2017) Na progressão geométrica (1, 2, 4, 8, …), sendo a_n o n-ésimo termo e S_n a soma dos n primeiros termos, podemos concluir que:

A) S_n = 2.a_n
B) S_n = a_n + 1
C) S_n = a_n+1  + 1
D) S_n = a_n+1  – 1
E) S_n = 2.a_n + 1

Solução:

Em primeiro lugar, podemos calcular a razão da progressão ao fazermos $$a_{2}/a_{1}=2/1=2$$. De posse do primeiro termo (a_n=1) e da razão (q=2), escrevemos o termo geral da progressão geométrica:

\[a_{n}=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}.\]

Com a fórmula da soma da PG, temos

\[S_{n}=1\cdot \frac{2^{n}-1}{2-1}=2\cdot 2^{n-1}-1=2\cdot a_{n}-1.\]

Observamos ainda que $$a_{n+1}=2a_{n}$$, então, substituindo na equação anterior,

\[S_{n}=2^{2}a_{n}-1 = a_{n+1}-1.\]