Progressão Geométrica – Exercício 16

(UFRGS-RS–2016) Considere o padrão de construção representado pelos triângulos equiláteros a seguir.

O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 é metade da
altura do triângulo da etapa 2 e, assim, sucessivamente.

Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é

A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 6.

Solução:

Da geometria, sabemos que a altura (h) de um triângulo equilátero relaciona-se com seu lado (L) por meio da fórmula $$l=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$$. Também sabemos que o perímetro do triângulo equilátero é $$p=3l$$, então, com as duas fórmulas, concluímos que $$p=2\sqrt{3}h (*)$$.

Além disso, de acordo com o enunciado, as alturas são reduzidas pela metade a cada novo triângulo, portanto a sequência de perímetros também é reduzida pela metade, uma vez que $$(p/2) = 2\sqrt{3}(h/2)$$, então os perímetros formam uma progressão geométrica de razão q = 2 e termo inicial a₁ = 3.

Usando a fórmula da PG infinita, temos

\[s_{\infty}=\frac{3}{\frac{1}{2}-1}=6.\]