Progressão Geométrica – Exercício 30

Sabe-se que 1 + log x + log2x + log3x + … = 3/5. Calcule o valor de x³ sabendo que |log x| < 1.

Solução:
i) O termo inicial da PG é $$a_{1}=1$$ e a razão é $$q=log(x)$$.

Usando a soma infinita da progressão geométrica, obtemos $$\frac{1}{1-log(x)}=3/5$$.
A equação anterior pode ser reescrita como $$1 – log(X)=5/3$$, o que equivale a $$log(x) = -2/3$$.

ii) Aplicando-se a definição de logaritmo, obtemos $$10^{-2/3}=x$$, e ao elevarmos ambos os lados à terceira potência, obtemos $$10^{-2}=x^{3}$$.