1ª Fase - UnicampMatemáticaUnicamp
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Resolução – UNICAMP 2013 (1ª Fase) – Matemática (continuação 3)

Questão

Sejam r, s e t as raízes do polinômio $$p(x)= x^{3}+ax^{2}+bx+(\frac{b}{a})^{3}$$, em que $$a$$ e $$b$$ são constantes reais não nulas. Se $$s^{2}=rt$$, então a soma de $$r+t$$ é igual a:
a) $$b/a + a$$.
b) $$-b/a – a$$.
c) $$b/a – a$$.
d) $$a – b/a$$.



Solução:

A solução vem por duas relações de Girard para polinômios cúbicos.
\[s+r+t=-\frac{a}{1}=-a\].
\[s\cdot r\cdot t = -\frac{(\frac{b}{a})^{3}}{1}=-(\frac{b}{a})^{3}\].
Na segunda equação, podemos substituir $$s^{2}=rt$$, tornando-se $$s^{3}=s\cdot s^{2}=-(\frac{b}{a})^{3}$$, ou seja, $$s = -\frac{b}{a}$$.
Substituindo este valor na primeira expressão:
\[-\frac{b}{a}+r+t=-a\Longrightarrow r+t=\frac{b}{a}-a\].
Resposta: c)


Questão

O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.



Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por ܵ$$S(\varphi)$$ e ܶ$$T(\varphi)$$, podemos afirmar que a razão ܵ$$S(\varphi)/T(\varphi)$$, quando $$\varphi = \pi/2$$ radianos, é
a) 2π.
b) π.
c) π/4.
d) π/2.
Solução:




Tags: Matemática, UNICAMP

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