1ª Fase - UnicampMatemáticaUnicamp
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Resolução – UNICAMP 2013 (1ª Fase) – Matemática (continuação 3)

Questão

Sejam r, s e t as raízes do polinômio $$p(x)= x^{3}+ax^{2}+bx+(\frac{b}{a})^{3}$$, em que $$a$$ e $$b$$ são constantes reais não nulas. Se $$s^{2}=rt$$, então a soma de $$r+t$$ é igual a: a) $$b/a + a$$. b) $$-b/a – a$$. c) $$b/a – a$$. d) $$a – b/a$$.  

Solução:
A solução vem por duas relações de Girard para polinômios cúbicos. \[s+r+t=-\frac{a}{1}=-a\]. \[s\cdot r\cdot t = -\frac{(\frac{b}{a})^{3}}{1}=-(\frac{b}{a})^{3}\]. Na segunda equação, podemos substituir $$s^{2}=rt$$, tornando-se $$s^{3}=s\cdot s^{2}=-(\frac{b}{a})^{3}$$, ou seja, $$s = -\frac{b}{a}$$. Substituindo este valor na primeira expressão: \[-\frac{b}{a}+r+t=-a\Longrightarrow r+t=\frac{b}{a}-a\]. Resposta: c)

Questão

O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo.


  Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por ܵ$$S(\varphi)$$ e ܶ$$T(\varphi)$$, podemos afirmar que a razão ܵ$$S(\varphi)/T(\varphi)$$, quando $$\varphi = \pi/2$$ radianos, é a) 2π. b) π. c) π/4. d) π/2. Solução: https://www.youtube.com/watch?v=ykImOIoFIv0&t=6s

Questão

Chamamos de unidade imaginária e denotamos por ݅$$i$$ o número complexo tal que ݅$$i^{2}=-1$$. ଶ Então $$i^{0}+i+…+i^{2013}$$ vale: a) $$0$$. b) $$1$$. c) $$1+i$$. d) ݅$$i$$.

Solução:
Não precisamos aplicar a soma de uma progressão geométrica! Basta observarmos duas coisas: 1) Na soma em questão, o fator $$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$$ ocorre diversas vezes. Por exemplo, $$i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}=i+i^{2}+i^{3}+i^{4}$$. Como o último expoente é o 2013, basta fazermos a divisão inteira por 4, ou seja, $$2013:4 = 503\cdot 4 + 1$$. Assim, observamos que aquela soma ocorre 503 vezes. Por outro lado, $$i+i^{2}+i^{3}+i^{4}=i-1-i+1=0$$. Ou seja,  \[i^{0}+i+…+i^{2013}=i^{0}+(i^{1}+i^{2}+…=i^{2012})+i^{2013}=i^{0}+ 503\cdot (i+i^{2}+i^{3}+i^{4})+i^{2013}=1+i^{2013}\]. 2) Utilizando a mesma divisão inteira, podemos escrever $$i^{2013}=i^{503\cdot 4 + 1}=(i^{4})^{503}\cdot i = i$$. Temos, portanto, a soma equivalente a $$1+i$$. Resposta: c)

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