Resolução – UNICAMP 2018 (1ª Fase) – Matemática (continuação 5)

Questões anteriores

---

Questão

Sejam ?(?) e ?(?) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se ?(?) por ?(?), obtêm-se quociente e resto iguais a ?² + 1. Nessas condições, é correto afirmar que a) o grau de ?(?) é menor que 5. b) o grau de ?(?) é menor que 3. c) ?(?) tem raízes complexas. d) ?(?) tem raízes reais. Solução: Escreveremos a divisão pelo algoritmo de Euclides no corpo dos polinômios com coeficientes reais. Observe: \[p(x)=q(x)\cdot (x^{2}+1)+(x^{2}+1)=(x^{2}+1)\cdot (q(x)+1)\]. O grau de ?(?) é, no mínimo, igual a 2. Não podemos afirmar nada além disso, pois não conhecemos o grau de ?(?). Por esta razão, descartamos (a) e (b). Ainda mais: não sabemos qualquer coisa de ?(?), portanto não podemos dizer se ?(?) tem raízes reais. Descartamos (d). A única opção válida é (c), pois ?(?) terá duas raízes complexas conjugadas, que são as mesmas raízes de (?² + 1). Resposta: c)

---

Questão

Sejam ? e ? números reais não nulos. Se o número complexo ? = ? + ?i é uma raiz da equação quadrática ?² + ?? + ? = 0, então a) |?| = 1/√3. b) |?| = 1/√5. c) |?| = √3. d) |?| = √5. Solução: Por Bhaskara, podemos igualar uma das raízes da equação ao número ?. \[x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4a}}{2}=a+bi\]. Para isto, precisaremos fazer as igualdades: i. $$-b/2 = a$$; ii. $$\sqrt{b^{2}-4a}/2 = bi$$. Da primeira, obtemos $$b=-2a$$. Substituindo na segunda e elevando ao quadrado, obtemos: \[(\sqrt{4a^{2}-4a})^{2}=(-4ai)^{2}\Longrightarrow 4a^{2}-4a=-16a^{2}\Longrightarrow 20a^{2}-4a=0\Longrightarrow 5a^{2}-a=0\]. As soluções são $$a=0$$ ou $$a=1/5$$. Evidentemente, só tomaremos a segunda solução. Deste modo, $$z=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$. O módulo deste número é $$|z|=\sqrt{(\frac{1}{5})^{2}+(-\frac{2}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{5}{25}}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$. Resposta: b)

---