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Soma de Arcos – Exercício 4

(FUVEST) Nos triângulos retângulos da figura, AC = 1 cm, BC = 7 cm, AD = BD.




Sabendo que sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a, o valor de sen x é:

a) √2/2
b) 7/√50
c) 3/5
d) 4/5
e) 1/√50



Solução:

Com o teorema de Pitágoras, conseguimos calcular a hipotenusa do triângulo ABC. De fato,

\[\overline{AB}^{2}=\overline{AC}^{2}+\overline{BC}^{2}=\]

\[1^{2}+7^{2}=50.\]

Daqui, $$\overline{AB}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$.

Conseguimos, portanto, calcular o seno e o cosseno do ângulo $$\alpha = \overset{\LARGE\frown}{BAC}$$, no triângulo ABC:

  • $$sen(\alpha)=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{7}{5\sqrt{2}}$$, e
  • $$sen(\alpha)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}$$.

Observamos que o triângulo ABD é isósceles e retângulo, uma vez que $$\overline{AD}=\overline{BD}$$, então os ângulos de ABD são de 45º e 90º. Na figura a seguir, observamos que $$\alpha = x + 45º$$, ou, escrito de outro modo, $$x = \alpha – 45º$$.




Aplicando o seno da diferença e sabendo que $$cos(45º)=sen(45º)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, temos

\[sen(x)=sen(\alpha-45º)=\]

\[sen(x)\frac{\sqrt{2}}{2}-cos(x)\frac{\sqrt{2}}{2}=\]

\[\frac{\sqrt{2}}{2} [\frac{7}{5\sqrt{2}}-\frac{1}{5\sqrt{2}}]=\]

\[\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{6}{5\sqrt{2}}=3/5.\]

Resposta: c)

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