Soma de Arcos – Exercício 5

(FATEC) Se x – y = 60°, então o valor de (sen x + sen y)² + (cos x + cos y)² é igual a:
a) 0.
b) 1. 
c) 2.
d) 3
e) 4.

Solução:

Expandindo, temos as seguintes expressões:

• $$(sen(x)+sen(y))^{2}=sen^{2}(x)+sen^{2}(y) + 2sen(x)sen(y)$$; e 
• $$(cos(x)+cos(y))^{2}=cos^{2}(x)+cos^{2}(y)+2cos(x)cos(y)$$.

Daqui,

\[(sen (x) + sen (y))^{2} + (cos (x) + cos (y))^{2}=\]

\[cos^{2}(x)+sen^{2}(x)+cos^{2}(y)+sen^{2}(y)+\]

\[2cos(x)cos(y)+2sen(x)sen(y)=\]

\[\textbf{(A)}:\;\;2\cdot (1+cos(x)cos(y)+sen(x)sen(y)).\]

Sabemos que 

\[cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sen(x)sen(y),\]

então a expressão (A) equivale a 

\[2+2cos(x-y) = 2 + 2cos(60) = 2+2\cdot (1/2) = 3.\]

Resposta: d)