Suponha que $$H<G$$, com [G:H] = 2 (índice de H). Prove que $$H\unlhd G$$ (subgrupo normal de G).
Solução:
1) Observamos que as únicas classes laterais de H são $$G|H = \{H,xH\}$$, para $$x\in G-H$$. Além disso, as classes laterais são as classes de equivalência da relação usual de equivalência para subgrupos. Desse modo, podemos escrever $$G=H\cup xH$$, ou seja, $$G$$ é união disjunta das duas classes de $$H$$.
2) Como $$xHx^{-1}\subset G$$, ou $$xHx^{-1}\subseteq H$$ ou $$xHx^{-1}\subseteq xH$$. No segundo caso, para todo $$h\in H, x^{-1}xhx^{-1}\in H$$, o que implicaria $$hx^{-1}\in H$$, portanto $$x\in H$$, o que é um absurdo. Assim, a única possibilidade é que $$xHx^{-1}\subseteq H$$, de modo que $$xHx^{-1}=H$$.
3) Se $$g\in H$$, é óbvio que $$gHg^{-1}=H$$. Se $$g\in G-H$$, então $$g\in xH$$, ou seja: existe $$h\in H$$ tal que $$g=xh$$, logo $$gHg^{-1} = (xh)H(h^{-1}x^{-1})=xHx^{-1}=H$$. O que finaliza a demonstração.
