a) $$3^{n}$$.
b) $$2\cdot\frac{3^{n}}{5^{2}}$$.
c) $$1/5$$.
d) $$\frac{3^{n-1}}{5}$$.
e) $$5\cdot 3^{n-1}$$.

Solução:
Gabarito: (d)

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a) Para ser competitiva com o transporte aéreo, estima-se que a viagem de trem entre essas duas cidades deve durar, no máximo, 1 hora e 40 minutos. Qual é a velocidade média de um trem que faz o percurso de 400km nesse tempo?

b) Considere um trem viajando em linha reta com velocidade constante. A uma distância de 30km do final do percurso, o trem inicia uma desaceleração uniforme de 0,06m/s², para chegar com velocidade nula a seu destino. Calcule a velocidade do trem no início da desaceleração.

Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos de Cinemática
Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos de MUV

Solução:

a) O percurso mede 400 km. Além disso, sabe-se que $$1h40\, min = 60 + 40 min = 100\, min$$.
A velocidade média será $$v = \frac{400}{100}=4\, km/min$$

b) Usamos Torricelli com o sinal negativo, antes da aceleração, por se tratar de uma desaceleração. Sabemos que $$\Delta s = 30 km=30.000 m$$
\[v^{2}=v_{0}^{2}-2a\Delta S\Longrightarrow 0=v_{0}^{2}-2\cdot 0,06\cdot 30000\Longrightarrow v_{0}=\sqrt{3600}= 60\, m/s\].

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a) determine x.
b) calcule cos x + cos2x + cos3x .

Solução:

a) Utilizando a soma de arcos, sabemos que $$sen(2x) = 2sen(x)cos(x)$$ e que $$sen(3x) = sen(2x)cos(x) + sen(x)cos(2x)$$.

• Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos sobre Equações Trigonométricas

Usando essas substituições e o fato de que $$cos(2x)=cos^{2}(x)-1$$, na equação, temos $$sen(x) + 2sen(x)cos(x) + 2sen(x)cos^{2}(x)+sen(x)(2cos^{2}(x)-1)=0.$$

Assim,

\[sen(x) + 2sen(x)cos(x) + 4sen(x)cos^{2}(x) – sen(x) = 0.\]

A equação torna-se $$2sen(x)[cos(x)+2cos^{2}(x)]=0$$.  Uma das soluções é $$sen(x)=0$$, mas, dado o intervalo do enunciado, não existe solução para este caso.

O segundo caso é a equação quadrática $$t + 2t^{2}=0$$, para $$t=cos(x)$$. Portanto, as soluções, neste caso, são $$t = 0$$ ou $$t = -1/2$$. No primeiro subcaso, $$t=cos(x) = 0$$, que não possui solução para $$x\in(\pi/2 , \pi)$$. O segundo subcaso corresponde a $$t=cos(x)=-1/2$$. A única solução possível é $$x=5\pi/3$$.

b) Como $$x=5\pi/3$$, precisamos calcular o cosseno de $$2\cdot 5\pi/3 = 10\pi/3 $$ e $$3\cdot 5\pi/3 = 5\pi$$. Notamos que $$cos(\frac{10\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3})$$ e que  \[cos(5\pi)=cos(\pi)=0.\] Daqui, \[cos(x)+cos(2x)+cos(3x) = 0\]

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Em particular, espelhos convexos são úteis por permitir o aumento do campo de visão e por essa razão são frequentemente empregados em saídas de garagens e em corredores de supermercados. A figura a seguir mostra um espelho esférico convexo de raio de curvatura R. Quando uma pessoa está a uma distância de 4,0 m da superfície do espelho, sua imagem virtual se forma a 20 cm deste, conforme mostra a figura. Usando as expressões fornecidas acima, calcule o que se pede.

a) O raio de curvatura do espelho.

b) O tamanho h da imagem, se a pessoa tiver H = 1,60 m de altura.

Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos de Espelhos e Lentes

Solução:

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a) Para h = 80 cm, calcule a velocidade com que a bola de basquete atinge o solo. Despreze a resistência do ar.

b) Abandonadas de uma altura diferente, a bola de basquete, de massa M, reflete no solo e sobe com uma velocidade de módulo V = 5,0 m/s. Ao subir, ela colide com a bola de pingue-pongue que está caindo também com V = 5,0 m/s, conforme a situação representada na figura (b). Considere que, na colisão entre as bolas, a energia cinética do sistema não se conserva e que, imediatamente após o choque, as bolas de basquete e pingue-pongue sobem com velocidades de $$V’_{b} = 4,95\, m/s$$ e $$V’_{p} = 7,0\, m/s$$, respectivamente. A partir da sua própria experiência cotidiana, faça uma estimativa para a massa da bola de pingue-pongue, e, usando esse valor e os dados acima, calcule a massa da bola de basquete.

Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos de Energia

Solução:

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O Positrônio é um átomo formado por um elétron e sua anti-partícula, o pósitron, que possui carga oposta e massa igual à do elétron. Ele é semelhante ao átomo de Hidrogênio, que possui um elétron e um próton. A energia do nível fundamental desses átomos é dada por $$-13,6/(1+m_e/m_p ) eV$$ onde $$m_{e}$$ é a massa do elétron e $$m_{p}$$ é a massa do pósitron, no caso do Positrônio, ou a massa do próton, no caso do átomo de Hidrogênio. Para o átomo de Hidrogênio, como a massa do próton é muito maior que a massa do elétron, $$E_1  = –13,6 eV$$.

a) Calcule a energia do nível fundamental do Positrônio.

b) Ao contrário do átomo de Hidrogênio, o Positrônio é muito instável, pois o elétron pode se aniquilar rapidamente com a sua anti-partícula, produzindo fótons de alta energia, chamados raios gama. Considerando que as massas do elétron e do pósitron são $$m_e = m_p = 9\cdot 10^{-31}  kg$$ , e que, ao se aniquilarem, toda a sua energia, dada pela relação de Einstein $$E_p+ E_e= m_p \cdot c^{2} + m_e\cdot c^{2}$$, é convertida na energia de dois fótons gama, calcule a energia de cada fóton produzido. A velocidade da luz é $$c = 3,0\cdot 10^{8} m/s$$.

Solução:

O post Resolução – UNICAMP 2008 – 2ª Fase – Q 11 (Física) apareceu primeiro em Educacional Plenus.