Quando estudamos o Movimento Uniformemente Variado, é impossível não nos depararmos com a Equação de Torricelli. Essa fórmula é extremamente útil, pois somos capazes de relacionar velocidade, espaço e aceleração sem necessitarmos da variável tempo.
Foi Evangelista Torricelli que, trabalhando com Galileu Galilei, derivou esta fórmula a partir das conhecidas equações horárias do espaço da velocidade no MUV ou MRUV. Aplicações da fórmula são encontradas em todo o estudo da cinemática, mas se destacam no lançamento horizontal e no lançamento vertical.
A famosa equação é
v² = v0² + 2aΔs,
em que
- v0 é a velocidade inicial do objeto;
- v é a velocidade final do objeto;
- a é a aceleração; e
- Δs é a variação do espaço.
Agora é hora de praticar com nossa Lista de Exercícios Resolvidos sobre a Equação de Torricelli.
Demonstração da Fórmula
Vamos utilizar duas funções muito conhecidas do MUV: função da velocidade e função da posição:
- Função horária da velocidade: v = v0 + at; e
- Função horária da posição: S = S0 + v0t + (a/2)t²
Como queremos eliminar a variável tempo, vamos isolar t na função da velocidade.
$$t = \frac{v – v_{0}}{a}$$
Agora substituímos t na função da posição.
$$S – S_{0} = v_{0} (\frac{v – v_{0}}{a}) + \frac{a}{2} (\frac{v – v_{0}}{a})^{2}\Longrightarrow$$
$$\Delta S = \frac{v_{0} v – v_{0}^{2}}{a} + \frac{a}{2a^{2}} (v^{2} – 2vv_{0} + v_{0}^{2})\Longrightarrow$$
$$\Delta S = \frac{2v_{0} v – 2v_{0}^{2} + v^{2} -2v_{0} v + v_{0}^{2}}{2a}\Longrightarrow$$
Cancelando alguns termos e reescrevendo, temos a famosa equação de Torricelli:
$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2a\Delta S$$
Segunda Demonstração da Fórmula
Buscamos uma expressão que seja livre da variável tempo. Para isso, vamos escrever o “sorvetão” do seguinte modo: ΔS = v0t + (a/2)t². Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator 2a e ficamos com
\[2a\Delta S = 2av_{0}t + a^{2}t^{2}\Longrightarrow\]
\[2a\Delta S = at (2v_{0} + at) (*).\]
Agora, vamos substituir na equação $$(*)$$ a função horária da velocidade, que será escrita do seguinte modo: at = v – vo . Obtemos, assim, a fórmula
\[ 2a\Delta S = (v-v_{0})(2v_{0}+v-v_{0})= (v-v_{0})(v+v_{0}) (**).\]
Note que a expressão à direita de $$(**)$$ é uma diferença de quadrados, donde se tem que
\[2a\Delta S = v^{2}-v_{0}^{2} (***).\]
Finalmente, reescrevemos $$(***)$$ na forma por nós há muito conhecida: v² = v²0 + 2aΔs.
