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Equações Trigonométricas – Exercício 9

A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz  π/2<x<π e verifica a equação sen(x) + sen(2x) + sen (3x) = 0 . Assim,

a) determine x.
b) calcule cos x + cos2x + cos3x .



Solução:

a) Utilizando a soma de arcos, sabemos que $$sen(2x) = 2sen(x)cos(x)$$ e que $$sen(3x) = sen(2x)cos(x) + sen(x)cos(2x)$$.

Usando essas substituições e o fato de que $$cos(2x)=cos^{2}(x)-1$$, na equação, temos $$sen(x) + 2sen(x)cos(x) + 2sen(x)cos^{2}(x)+sen(x)(2cos^{2}(x)-1)=0.$$

Assim,

\[sen(x) + 2sen(x)cos(x) + 4sen(x)cos^{2}(x) – sen(x) = 0.\]

A equação torna-se $$2sen(x)[cos(x)+2cos^{2}(x)]=0$$.  Uma das soluções é $$sen(x)=0$$, mas, dado o intervalo do enunciado, não existe solução para este caso.

O segundo caso é a equação quadrática $$t + 2t^{2}=0$$, para $$t=cos(x)$$. Portanto, as soluções, neste caso, são $$t = 0$$ ou $$t = -1/2$$. No primeiro subcaso, $$t=cos(x) = 0$$, que não possui solução para $$x\in(\pi/2 , \pi)$$. O segundo subcaso corresponde a $$t=cos(x)=-1/2$$. A única solução possível é $$x=5\pi/3$$.

b) Como $$x=5\pi/3$$, precisamos calcular o cosseno de $$2\cdot 5\pi/3 = 10\pi/3 $$ e $$3\cdot 5\pi/3 = 5\pi$$. Notamos que $$cos(\frac{10\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3})$$ e que  \[cos(5\pi)=cos(\pi)=0.\] Daqui, \[cos(x)+cos(2x)+cos(3x) = 0\]

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