Solução:

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$$f(t)=t\cdot e^{-t}$$.

Solução:
Derivando, pela regra do produto, e igualando a zero, teremos

\[f’ = e^{-t}-te^{-t}=e^{-t}(1-t)=0.\]

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A única raiz é $$t=1$$. Além disso, como $$e^{-t}> 0$$, o sinal de $$1-t$$ governará o sinal de toda a f’. Observe que, por ser (1-t) uma função afim decrescente, f’ será não negativa em $$t\geq 1$$ e será negativa em $$t>1$$. Resumindo, temos

• A função f é crescente no intervalo $$t\geq 1$$.
• O ponto $$t=1$$ é um máximo local (global).
• A função f é decrescente no intervalo $$t>1$$.

Além disso, temos, pela regra de L’Hopital,

\[lim_{x\to\infty}\frac{1-t}{e^{t}}=lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{t}}=0.\]

Observe que o resultado também valerá para $$x\to\-infty$$. Por conseguinte, o máximo é global.

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$$f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$$.

Solução:
Derivando, pela regra do quociente, e igualando a zero, teremos

\[f’=\frac{(1+x^{2})-2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}=0.\]

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Note que só podemos obter o zero com $$1+x^{2}-2x^{2}=0$$, donde se tem que $$x=\pm 1$$. O quociente da derivada terá seus sinais completamente dependentes do numerador, uma vez que o denominador é sempre positivo.

Por ser uma função do segundo grau com coeficiente dominante negativo, o numerador, e portanto todo o quociente f’, será negativo em $$x<-1$$ ou $$x> 1$$ e será não negativo no intervalo $$x\in [-1,1]$$. Podemos resumir do seguinte modo:

• Para $$x\leq -1$$, f será decrescente.
• O ponto $$x=-1$$ é ponto de mínimo local (global).
• Para $$x\in (-1,1)$$, f é crescente.
• O ponto $$x=1$$ é um ponto de máximo local (global).

Calculando os limites, teremos

\[lim_{x\to\infty}\frac{x}{1+x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1/x^{2}+1}=0.\]

Observe que o resultado também valerá para $$x\to-\infty$$, portanto a função é limitada superiormente pelo máximo local, ou seja, ele é, na verdade, um máximo global. A mesma ideia vale para o ponto de mínimo: como os limites tendem a 0 e a função só possui um mínimo local, esse mínimo é, na verdade, global.

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1. Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais:

• $$f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$$. Solução.
• $$f(t)=t\cdot e^{-t}$$. Solução.
• $$f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}+2$$. Solução.

2. Determine o ponto da parábola y= 1- x² que se encontra mais próximo da origem. Solução.

3. Determine o ponto da parábola y = x² que se encontra mais próximo da reta y = x-2. Solução.

4. Em quais pontos da curva y = 1 + 40x³ – 3x⁵ a reta tangente tem a sua maior inclinação? Solução.

Mais exercícios sobre Derivadas! Acesse aqui.

5. A Cia. γ Ltda. produz um determinado produto e vende-o com um lucro total dado por L(q) = -q³+12q²+60q-4, em que q representa a quantidade produzida. Determine o lucro máximo e a produção que maximiza o lucro. Esboce o gráfico desta função. Solução.

6. Em um triângulo ABC, D está no segmento AB, os segmentos CD e AB são perpendiculares, AD = BD = 4cm e CD = 5 cm. Onde estaria o ponto P escolhido em CD para a soma PA+PB+PC ser mínima?
Solução: 4/√3
Resolução (clique aqui).

7. Ache a menor distância da origem à reta 3x+y=6 e encontre o ponto P, sobre a reta, que esteja mais próximo da origem. Mostre que a origem está na reta perpendicular à reta dada no enunciado. Solução.

8. Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio e, uma semiesfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja 5π. Determine r e h para que o volume seja máximo. Solução.

9. Um pedaço de arame com 10 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada na forma circular e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio de tal forma que (a) a área combinada seja mínima; (b) a área combinada seja máxima. Solução.

10. Mostre que o maior retângulo tendo perímetro igual a ρ unidades é um quadrado.
Solução.

11. Qual é o retângulo de área máxima inscrito em uma circunferência de raio R?
Resposta: Um quadrado de lado R√2
Solução no vídeo (clique aqui)

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Solução:

A distância entre um par da parábola,  (x,x²), e um par da reta, (x,x-2), é dada pela fórmula

\[d^{2}=(x-x)^{2}+(x-2-x^{2})^{2}.\]

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Basta minimizarmos a expressão à direita, derivando e igualando a zero. Teremos, assim,

\[2(1-2x)(x-2-x^{2})=0.\]

Note que a única solução real da equação é $$1-2x=0\Longrightarrow x=\frac{1}{2}$$.

Se quisermos, podemos verificar, com o teste da derivada segunda, que o ponto é de mínimo local: $$\frac{2(1-2x)(x-2-x^{2})}{dx}=12x^{2}-12x+6$$.

Substituindo o valor de $$x=1/2$$, obtemos o valor numérico igual a 3, evidenciando que se trata de um ponto de mínimo.

O ponto é $$(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$$.

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Solução:
Calculamos a distância entre o ponto (0,0) e um ponto genérico da parábola, dado por (x,1-x²). Teremos, portanto,

\[d^{2}=x^{2}+(1-x^{2})^{2} .\]

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Podemos minimizar apenas o lado direito da igualdade, uma vez que a raiz quadrada é uma função crescente. Derivando a expressão e igualando a zero, teremos

\[(*) 2x – 4x(1-x^{2})=0 \Longrightarrow 4x^{3}-2x=0.\]

As raízes dessa equação são $$x=0$$, $$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

ii) Derivamos a expressão $$(*)$$ novamente, de modo a obtermos \varphi(x) = 12x^{2}-2$$. Agora, realizamos o teste da derivada segunda, aplicando as raízes achadas anteriormente:

• $$\varphi(0)=-2$$ (ponto de máximo local);
• $$\varphi(\frac{\pm\sqrt{2}}{2}) = 4$$ (pontos de mínimo locais).

Como não há outros pontos críticos, concluímos que $$\pm\sqrt{2}{2}$$ são os únicos pontos que minimizam a função distância.

Assim, dado que $$y=(\pm\sqrt{2}{2})=\frac{1}{2}$$, os pontos são $$(\sqrt{2}{2},\frac{1}{2})$$ e $$(-\sqrt{2}{2},\frac{1}{2})$$

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Solução:
A relação entre o lado do quadrado (l) e o raio (r) da circunferência é que a soma de seus perímetros deve igual a 10, ou seja:  10 = 4l + 2πr. Podemos escrever (l) em função de (r):

\[l = \frac{10 – 2\pi r}{4}.\]

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Note que o raio pertence ao intervalo [0,5/π], que ocorre quando l =0.

A área, em função do raio, é dada por

\[A(r) = \pi r^{2}+\frac{(10 – (\pi/2) r)^{2}}{16}.\]

a) Se derivarmos essa função do segundo grau com coeficiente positivo e fizermos o resultado ser igual a zero, encontraremos seu ponto de mínimo. Com efeito,

\[\frac{dA}{dr}=2\pi r – \pi(\frac{10 – 2\pi r}{4})=0\Longrightarrow\]

\[(8+2\pi)r = 10\Longrightarrow r =\frac{5}{4 + \pi}.\]

E teremos $$l = \frac{10}{4 + \pi}$$.

b) Observe que, no intervalo considerado, o $$r$$ que mais se distancia do ponto de mínimo é $$r = \pi/5$$, logo $$l=0$$. Esse $$r$$ fornece a área máxima possível.

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Solução:

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