Cálculo I
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Máximos e Mínimos – Exercício 4

Determine o ponto da parábola y= 1- x² que se encontra mais próximo da origem.



Solução:

Calculamos a distância entre o ponto (0,0) e um ponto genérico da parábola, dado por (x,1-x²). Teremos, portanto,

\[d^{2}=x^{2}+(1-x^{2})^{2} .\]

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Podemos minimizar apenas o lado direito da igualdade, uma vez que a raiz quadrada é uma função crescente. Derivando a expressão e igualando a zero, teremos

\[(*) 2x – 4x(1-x^{2})=0 \Longrightarrow 4x^{3}-2x=0.\]

As raízes dessa equação são $$x=0$$, $$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

ii) Derivamos a expressão $$(*)$$ novamente, de modo a obtermos \varphi(x) = 12x^{2}-2$$. Agora, realizamos o teste da derivada segunda, aplicando as raízes achadas anteriormente:

  • $$\varphi(0)=-2$$ (ponto de máximo local);
  • $$\varphi(\frac{\pm\sqrt{2}}{2}) = 4$$ (pontos de mínimo locais).

Como não há outros pontos críticos, concluímos que $$\pm\sqrt{2}{2}$$ são os únicos pontos que minimizam a função distância.

Assim, dado que $$y=(\pm\sqrt{2}{2})=\frac{1}{2}$$, os pontos são $$(\sqrt{2}{2},\frac{1}{2})$$ e $$(-\sqrt{2}{2},\frac{1}{2})$$

 

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