Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.
$$f(t)=t\cdot e^{-t}$$.
Solução:
Derivando, pela regra do produto, e igualando a zero, teremos
\[f’ = e^{-t}-te^{-t}=e^{-t}(1-t)=0.\]
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A única raiz é $$t=1$$. Além disso, como $$e^{-t}> 0$$, o sinal de $$1-t$$ governará o sinal de toda a f’. Observe que, por ser (1-t) uma função afim decrescente, f’ será não negativa em $$t\geq 1$$ e será negativa em $$t>1$$. Resumindo, temos
- A função f é crescente no intervalo $$t\geq 1$$.
- O ponto $$t=1$$ é um máximo local (global).
- A função f é decrescente no intervalo $$t>1$$.
Além disso, temos, pela regra de L’Hopital,
\[lim_{x\to\infty}\frac{1-t}{e^{t}}=lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{t}}=0.\]
Observe que o resultado também valerá para $$x\to\-infty$$. Por conseguinte, o máximo é global.
