Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e
globais.
$$f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$$.
Solução:
Derivando, pela regra do quociente, e igualando a zero, teremos
\[f’=\frac{(1+x^{2})-2x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}=0.\]
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Note que só podemos obter o zero com $$1+x^{2}-2x^{2}=0$$, donde se tem que $$x=\pm 1$$. O quociente da derivada terá seus sinais completamente dependentes do numerador, uma vez que o denominador é sempre positivo.
Por ser uma função do segundo grau com coeficiente dominante negativo, o numerador, e portanto todo o quociente f’, será negativo em $$x<-1$$ ou $$x> 1$$ e será não negativo no intervalo $$x\in [-1,1]$$. Podemos resumir do seguinte modo:
- Para $$x\leq -1$$, f será decrescente.
- O ponto $$x=-1$$ é ponto de mínimo local (global).
- Para $$x\in (-1,1)$$, f é crescente.
- O ponto $$x=1$$ é um ponto de máximo local (global).
Calculando os limites, teremos
\[lim_{x\to\infty}\frac{x}{1+x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1/x^{2}+1}=0.\]
Observe que o resultado também valerá para $$x\to-\infty$$, portanto a função é limitada superiormente pelo máximo local, ou seja, ele é, na verdade, um máximo global. A mesma ideia vale para o ponto de mínimo: como os limites tendem a 0 e a função só possui um mínimo local, esse mínimo é, na verdade, global.
