Um pedaço de arame com 10 m é cortado em duas partes. Uma delas é curvada na forma circular e a outra, na forma de um quadrado. Como dividir o fio de tal forma que (a) a área combinada seja mínima; (b) a área combinada seja máxima.
Solução:
A relação entre o lado do quadrado (l) e o raio (r) da circunferência é que a soma de seus perímetros deve igual a 10, ou seja: 10 = 4l + 2πr. Podemos escrever (l) em função de (r):
\[l = \frac{10 – 2\pi r}{4}.\]
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Note que o raio pertence ao intervalo [0,5/π], que ocorre quando l =0.
A área, em função do raio, é dada por
\[A(r) = \pi r^{2}+\frac{(10 – (\pi/2) r)^{2}}{16}.\]
a) Se derivarmos essa função do segundo grau com coeficiente positivo e fizermos o resultado ser igual a zero, encontraremos seu ponto de mínimo. Com efeito,
\[\frac{dA}{dr}=2\pi r – \pi(\frac{10 – 2\pi r}{4})=0\Longrightarrow\]
\[(8+2\pi)r = 10\Longrightarrow r =\frac{5}{4 + \pi}.\]
E teremos $$l = \frac{10}{4 + \pi}$$.
b) Observe que, no intervalo considerado, o $$r$$ que mais se distancia do ponto de mínimo é $$r = \pi/5$$, logo $$l=0$$. Esse $$r$$ fornece a área máxima possível.
