Máximos e Mínimos – Exercício 5

Determine o ponto da parábola y = x² que se encontra mais próximo da reta y = x-2.

Solução:

A distância entre um par da parábola,  (x,x²), e um par da reta, (x,x-2), é dada pela fórmula

\[d^{2}=(x-x)^{2}+(x-2-x^{2})^{2}.\]

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Basta minimizarmos a expressão à direita, derivando e igualando a zero. Teremos, assim,

\[2(1-2x)(x-2-x^{2})=0.\]

Note que a única solução real da equação é $$1-2x=0\Longrightarrow x=\frac{1}{2}$$.

Se quisermos, podemos verificar, com o teste da derivada segunda, que o ponto é de mínimo local: $$\frac{2(1-2x)(x-2-x^{2})}{dx}=12x^{2}-12x+6$$.

Substituindo o valor de $$x=1/2$$, obtemos o valor numérico igual a 3, evidenciando que se trata de um ponto de mínimo.

O ponto é $$(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$$.