Seja um espaço vetorial $$V$$ gerado pelo conjunto linearmente independente $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$. Se houver um conjunto linearmente independente de $$\mathcal{B}=\{u_{1},..,u_{n}\}$$, então esse conjunto também é uma base para $$V$$.
Demonstração:
Suponha que o conjunto $$\mathcal{B}$$ não seja gerador de $$V$$, então existe algum elemento $$x\in V$$ tal que, para qualquer conjunto de coordenadas $$(\alpha_{i})^{n}_{i=1}$$, $$x\neq \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}u_{i}$$. Daqui, o conjunto $$\{u_{1},…,u_{n},x\}$$ é um conjunto de elementos linearmente independentes, isto é:
$$\sum^{n}_{i=1}\beta_{i}u_{i}+\lambda x=0$$ se, e somente se $$\beta_{i}=\lambda=0$$. Do contrário, teríamos
\[x = \sum^{n}_{i=1}\frac{\beta_{i}}{\lambda},\]
o que contraria a hipótese inicial de que $$x$$ não é gerado por $$\mathcal{B}$$. Portanto, pondo $$x=u_{n+1}$$,
\[\sum^{n+1}_{j=1}\theta_{j}u_{j}=0\Longleftrightarrow \theta_{j}=0,\forall j\in\{1,..,n+1\}.\]
Como todos os elementos de $$\mathcal{B}’=\mathcal{B}\cup \{u_{n+1}\}$$ são gerados pela base $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$, existem escalares tais que $$u_{j}=\sum^{n}_{i=1}a_{ij}v_{i}$$, para $$j\in\{1,…,n+1\}$$. Substituindo essa igualdade na expressão $$(*)$$, obtém-se
\[0=\sum_{j=1}^{n+1}\theta_{j}\sum^{n}_{i=1}a_{ij}v_{i}=(\sum_{j=1}^{n+1}\theta_{j}a_{1j})v_{1}+….+(\sum_{j=1}^{n+1}\theta_{j}a_{nj})v_{n}.\]
Como os elementos $$v_{i}$$ são linearmente independentes, o sistema linear homogêneo acima tem dimensão $$n\times n+1$$, para as incógnitas $$\theta_{1},…,\theta_{n+1}$$. Pela Lema do Sistema Linear, existe uma solução não trivial para ele, algo que contraria a hipótese de que $$\theta_{1}=…=\theta_{n+1}=0$$, portanto não pode existir $$x$$ nas condições apresentadas, o que nos leva a concluir que o conjunto $$\mathcal{B}$$ gera todos os elementos de $$V$$ e que, portanto, ele é uma base.
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