Termo geral de uma PG

É fundamental saber a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, seja nas provas, no vestibular, no ENEM e, principalmente, nos problemas práticos! Neste artigo, eu explico de uma maneira rápida e fácil como obter o termo geral de uma PG.

Lembre-se do que é uma Progressão Geométrica

A PG é uma sequência de números em que cada termo é obtido ao multiplicarmos um valor específico, chamado razão, pelo termo imediatamente anterior. Esse valor, a razão, nunca muda, ele é constante!

Um exemplo básico de progressão geométrica é este:

(2,6,18,54,162,…).

Note que o primeiro termo a sequência é o 2. A razão (q) é obtida ao dividirmos o segundo termo pelo primeiro, isto é: $$6/2=3$$. Poderíamos tomar qualquer outro par de termos, observe: $$54/18=3$$

Fórmula que calcula todos os termos a partir do primeiro

Com essa ideia em mente, podemos encontrar uma fórmula simples, que nos permite calcular o valor de um termo (g_n), se soubermos a ordem (n) daquele termo na sequência. Observe que, a partir do primeiro termo (o número 2), podemos obter qualquer outro termo:

• $$g_2=6=2\cdot 3$$;
• $$g_3=18=2\cdot 3^2$$;
• $$g_4=54=2\cdot 3^3$$.

Isso pode ser escrito algebricamente como

$$g_n=2\cdot 3^{n-1},\text{para}n\in \{1,2,\dots \}.$$

Para quaisquer termo inicial (g₁) e razão (q), podemos escrever

$${\mathbf{g}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}{\mathbf{g}}_{\mathbf{1}}\cdot {\mathbf{q}}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}.$$

•  Confira nossa lista de exercícios resolvidos sobre termo geral da PG!
• Próxima Aula: Soma dos Termos de uma PG

Termo geral a partir de qualquer outro termo

Em nosso exemplo, poderíamos escrever qualquer termo a partir do segundo. Observe:

• $$g_1=2=6\cdot 3^{1-2}$$;
• $$g_3=18=6\cdot 3^{3-2}$$;
• $$g_4=54=6\cdot 3^{4-2}$$.

Isso gera a fórmula

$$g_n=6\cdot 3^{n-2},\text{para}n\in \{1,2,\dots \}.$$

De modo geral, dado um termo $$g_m$$, com $$m\in \{1,2,\dots \}$$, podemos obter qualquer outro termo $$g_n$$, usando a fórmula

$${\mathbf{g}}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}{\mathbf{g}}_{\mathbf{m}}\cdot {\mathbf{q}}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{m}}.$$

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