Considere o conjunto de números naturais abaixo e os procedimentos subsequentes:
A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
- Cada número primo de A foi multiplicado por 3. Sabe-se que um número natural P é primo se P > 1 e tem apenas dois divisores naturais distintos.
- A cada um dos demais elementos de A, foi somado o número 1.
- Cada um dos números distintos obtidos foi escrito em apenas um pequeno cartão.
- Dentre todos os cartões, foram sorteados exatamente dois cartões com números distintos ao acaso.
A probabilidade de em pelo menos um cartão sorteado estar escrito um número par é:
a) 5/12
b) 7/12
c) 13/24
d) 17/24
Solução:
Descrevamos os passos anteriores com os conjuntos obtidos deles.
1. Os primos são {2,3,5,7}. O conjunto obtido é {6,9,15,21}.
2. Os não primos são {0,1,4,6,8,9}. O conjunto obtido é {1,2,5,7,9,10}.
3. O conjunto total obtido é {1,2,5,6,7,9,10,15,21}. Cada número representa um cartão.
Neste conjunto, observe que 3 são pares e 6 são ímpares.
Para que, em uma dupla sorteada, exista, no mínimo, um número par, pode-se ter um par e um ímpar, ou dois pares. Note que, neste exercício, precisamos considerar as duplas híbridas duas vezes; (par,ímpar) é diferentes da dupla (ímpar,par); porque o enunciado pede as duplas em que aparecem, no mínimo, 2 cartões. No caso (par,par) não é necessário fazer o arranjo.
- Caso (par,ímpar): $$\frac{3\cdot 6}{2!}=9$$
- Caso (ímpar,par): $$\frac{6\cdot 3}{2!}=9$$
- Caso (par,par) [Combinação de 3 elementos pares tomados 2 a 2]: $$C_{3,2}=\frac{3cdot 2}{2!1!}=3$$
Ao todo, há 9+9+3 = 21 possibilidades.
Por fim, o número de elementos no espaço amostral é a quantidade de duplas que se pode tirar com aquele conjunto, isto é, a combinação dos 9 elementos tomados 2 a 2.
\[C_{9,2}=\frac{9!}{2!7!}=\frac{9\cdot 8}{2}=36\].
\[p=\frac{21}{36}=\frac{3\cdot 7}{3\cdot 12}=\frac{7}{12}\]
Resposta: b)
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