Uma das raízes da equação x² + bx + c = 0, em que b e c são números inteiros, é 1−√5. Qual o valor do coeficiente c?
Solução:
Usando as fórmulas da Soma e do Produto das raízes de equações do segundo grau e chamando a outra raiz de $$x$$, teremos $$x+1-\sqrt{5} = -b$$ e $$x(1-\sqrt{5})=c$$.
A fim de que b seja inteiro, necessitamos de que $$x+1-\sqrt{5}$$ não tenha raiz quadrada. Desse modo, $$x=k+\sqrt{5}$$, em que $$k$$ é um número inteiro, pois $$x+1-\sqrt{5} = k+1$$.
Substituindo essa expressão na segunda fórmula, obtemos $$(k+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})=k+\sqrt{5} – k\sqrt{5} – 5 = c$$, que também é um número inteiro. Para isso, devemos eliminar as raízes quadradas, isto é: $$\sqrt{5} – k\sqrt{5} = 0$$. Daqui, obtemos $$k = 1$$.
Substituindo $$k=1$$ na expressão de $$c$$, obtemos $$c = 1-5 = -4$$.
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