No conjunto IR dos números reais, o conjunto solução S da inequação modular |x| · |x – 5| ≥ 6 é:
(A) S = {x ∈ IR / –1 ≤ x ≤ 6}.
(B) S = {x ∈ IR / x ≤ –1 ou 2 ≤ x ≤ 3}.
(C) S = {x ∈ IR / x ≤ –1 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x ≥ 6}.
(D) S = {x ∈ IR / x ≤ 2 ou x ≥ 3}.
(E) S = IR.
Solução:
De acordo com as propriedades do módulo, |x| · |x – 5| =|x²-5x|, de modo que a inequação pode ser reescrita como
|x²-5x| -6 ≥ 0. Há duas opções: ou |x²-5x| = x²-5x, ou |x²-5x| = -x²+5x. Será preciso testar ambas as situações.
No primeiro caso, temos f(x) = x²-5x-6 ≥ 0. Resolvendo a equação correspondente por Bhaskara, temos $$x=6$$ ou $$x=-1$$. Note que essa função tem concavidade para cima; ela será positiva, portanto, nas regiões $$x \leq 1$$ ou $$x \geq 6$$.
No segundo caso, temos g(x) = -x²+5x-6 ≥ 0. Resolvendo a equação correspondente por Bhaskara, temos $$x=3$$ ou $$x=2$$. Dado que a função tem concavidade para baixo, ela será positiva apenas na região $$2 \leq x \leq 3$$.
O intervalo que satisfaz a inequação é $$\{x\leq 1\}\cup\{2\leq x \leq 3\}\cup\{x\geq 6\}$$
Resposta: c)
