Todo número inteiro positivo n pode ser escrito em sua notação científica como sendo $$n = k \cdot 10^{x}$$, em que k ∈ R*, 1 ≤ k < 10 e x ∈ Z. Além disso, o número de algarismos de n é dado por (x + 1).
Sabendo que log 2 ≅ 0,30, o número de algarismos de $$2^{57}$$ é
(A) 16.
(B) 19.
(C) 18.
(D) 15.
(E) 17.
Solução:
Temos a igualdade
\[log(n)=log(k\cdot 10^{x})=log(k)+log(10^{x})\]
\[ = log(k) + x\cdot log(10) = log(k)+x\].
Substituindo $$n=2^{57}$$, teremos $$log(n)=log(2^{57})=57\cdot log(2) = 57\cdot 0,3 = 17,1$$.
Daqui, portanto, temos
\[17,1 = log(k) + x.\]
Note que o intervalo de $$k$$ faz com que $$log(k)\in [0,1)$$.Como $$x$$ é um número inteiro, só podemos ter
\[17 = 0,1 + 17,\]
de modo que $$log(k) = 0,1$$ e $$17 = x$$.
Resposta: c)
