Um restaurante a quilo vende 100kg de comida por dia, a R$15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes.
a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$18,00/kg ou para R$20,00/kg?
b) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição.
c) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível?
Solução:
a) Se o preço do quilo for de R$ 18,00, o aumento monetário terá sido de R$ 3,00. Então, de acordo com os dados da pesquisa, houve uma redução de $$3\cdot 5 Kg = 15 Kg$$ de comida. Neste caso, o total vendido foi de $$100 – 15 = 85 Kg$$. Multiplicando esse valor pelo preço do quilo, temos $$85\cdot 18 = R$ 1.530,00$$.
Se o preço do quilo for de R$ 20,00, o aumento em relação aos R$ 15,00 iniciais corresponde a R$ 5,00, o que provoca uma redução de $$5\cdot 5 = 25 Kg$$ de vendas, resultando em um total de $$100 – 25 = 75 Kg$$ vendidos diariamente. Multiplicando esse valor pelo preço do quilo, temos $$75\cdot 20 = R$ 1.500,00$$.
Entre os preços apresentados, o restaurante tem um faturamento maior com os R$ 18,00 / quilo.
b) Com o preço a R$ 20,00/Kg, a quantidade vendida é de 75 Kg. A função será $$q(p) = ap + b$$, com os pares ordenados (15,100) e (20,75).
Montando um sistema de equações, teremos
$$100 = 15a + b$$ e $$75 = 20a + b$$.
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos: $$-25 = 5a$$, que resulta em $$a = -5$$. Substituindo tal valor na segunda equação, temos $$75 = -100 + b$$, logo $$b=175$$.
Assim, $$q(p) = -5p + 175$$.
Como a função da receita é $$r(p)=q(p)\cdot p$$, que é o resultado da multiplicação entre a quantidade vendida e o preço por quilo, temos
\[r(p) = (-5p+175)\cdot p = -5p^{2}+175p,\]
para $$p\geq 15$$.
c) Basta calcularmos o ponto de máximo da função do segundo grau obtida no item anterior, com a fórmula da coordenada $$x$$ do vértice da parábola. Os parâmetros da função do segundo grau são $$a=-5$$, $$b=175$$ e $$c=0$$. Com efeito,
\[p_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{-175}{2\cdot (-5)}=R\$ 17,5/Kg.\]
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