Se efetuarmos depósitos mensais e iguais $$PMT$$ em um determinado fundo de investimento que remunera após um mês, podemos calcular o saldo final desta aplicação, após $$n$$ meses, submetida a uma taxa de juros compostos efetiva $$i$$. A convenção adotada será da série postecipada, isto é, aquela que apresenta o pagamento ao final do período.
De fato, cada um dos depósitos gerará um montante (Valor Futuro) a Juros Compostos independente.
- Depósito 1: $$VF_{1} = PMT\cdot (1+i)^{n-1}$$.
- Depósito 2: $$VF_{2} = PMT\cdot (1+i)^{n-2}$$.
- ….
- Depósito n-1: $$VF_{n-1} = PMT\cdot (1+i)^{1}$$.
- Depósito n: $$VF_{n} = PMT\cdot (1+i)^{0}$$.
Observe que o montante final de nossa aplicação será a soma
\[VF_{1}+VF_{2}+…+VF_{n}=\]
\[PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-2}+….+PMT=\]
\[PMT\cdot [(1+i)^{n-1}+(i+i)^{n-2}+…+1] (*).\]
A soma entre colchetes se trata de uma soma de uma progressão geométrica com $$n$$ termos, termo inicial igual a 1 e razão igual a $$(1+i)$$. Utilizando a Soma da PG, podemos escrever
\[[(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+…+1] = S_{n}=1\cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i}.\]
Substituindo em $$(*)$$, obtemos
\[VF = PMT\cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i}.\]
Exemplo
Pedro deposita no final de cada mês durante 7 meses a quantia de R$4.500,00 em um fundo que paga juros a uma taxa de 2,5% (=0,025) a.m. Qual o montante no instante do último depósito?
Solução:
A sequência é postecipada, além disso, $$i=0,025$$, $$PMT=45000$$ e $$n=7$$. Basta aplicarmos a fórmula.
\[VF=4.500\cdot[\frac{(1+0,025)^{7}-1}{0,025}]= R\$33.963,44 \].
0 comentários