Valor Futuro de Uma Série Uniforme

Se efetuarmos depósitos mensais e iguais $$PMT$$ em um determinado fundo de investimento que remunera após um mês, podemos calcular o saldo final desta aplicação, após $$n$$ meses, submetida a uma taxa de juros compostos efetiva $$i$$. A convenção adotada será da série postecipada, isto é, aquela que apresenta o pagamento ao final do período.

De fato, cada um dos depósitos gerará um montante (Valor Futuro) a Juros Compostos independente.

• Depósito 1: $$V{F}_1=PMT\cdot (1+i{)}^{n-1}$$.
• Depósito 2: $$V{F}_2=PMT\cdot (1+i{)}^{n-2}$$.
• ….
• Depósito n-1: $$V{F}_{n-1}=PMT\cdot (1+i{)}^1$$.
• Depósito n: $$V{F}_n=PMT\cdot (1+i{)}^0$$.

Observe que o montante final de nossa aplicação será a soma

$$V{F}_1+V{F}_2+\dots +V{F}_n=$$

$$PMT(1+i{)}^{n-1}+PMT(1+i{)}^{n-2}+\dots .+PMT=$$

$$PMT\cdot [(1+i{)}^{n-1}+(i+i{)}^{n-2}+\dots +1](\ast ).$$

A soma entre colchetes se trata de uma soma de uma progressão geométrica com $$n$$ termos, termo inicial igual a 1 e razão igual a $$(1+i)$$. Utilizando a Soma da PG, podemos escrever

$$[(1+i{)}^{n-1}+(1+i{)}^{n-2}+\dots +1]=S_n=1\cdot \frac{(1+i{)}^n-1}{i}.$$

Substituindo em $$(\ast )$$, obtemos

$$VF=PMT\cdot \frac{(1+i{)}^n-1}{i}.$$

Exemplo
Pedro deposita no final de cada mês durante 7 meses a quantia de R$4.500,00 em um fundo que paga juros a uma taxa de 2,5% (=0,025) a.m. Qual o montante no instante do último depósito?

Solução:
A sequência é postecipada, além disso, $$i=0,025$$, $$PMT=45000$$ e $$n=7$$. Basta aplicarmos a fórmula.
$$VF=4.500\cdot [\frac{(1+0,025{)}^7-1}{0,025}]=R\mathrm{\$}33.963,44$$.