Matemática Financeira
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Valor Futuro de Uma Série Uniforme

Se efetuarmos depósitos mensais e iguais $$PMT$$ em um determinado fundo de investimento que remunera após um mês, podemos calcular o saldo final desta aplicação, após $$n$$ meses, submetida a uma taxa de juros compostos efetiva $$i$$. A convenção adotada será da série postecipada, isto é, aquela que apresenta o pagamento ao final do período.

De fato, cada um dos depósitos gerará um montante (Valor Futuro) a Juros Compostos independente.

  • Depósito 1: $$VF_{1} =  PMT\cdot (1+i)^{n-1}$$.
  • Depósito 2: $$VF_{2} = PMT\cdot (1+i)^{n-2}$$.
  • ….
  • Depósito n-1: $$VF_{n-1} = PMT\cdot (1+i)^{1}$$.
  • Depósito n: $$VF_{n} = PMT\cdot (1+i)^{0}$$.

Observe que o montante final de nossa aplicação será a soma

\[VF_{1}+VF_{2}+…+VF_{n}=\]

\[PMT(1+i)^{n-1}+PMT(1+i)^{n-2}+….+PMT=\]

\[PMT\cdot [(1+i)^{n-1}+(i+i)^{n-2}+…+1] (*).\]

A soma entre colchetes se trata de uma soma de uma progressão geométrica com $$n$$ termos, termo inicial igual a 1 e razão igual a $$(1+i)$$. Utilizando a Soma da PG, podemos escrever

\[[(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+…+1] = S_{n}=1\cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i}.\]

Substituindo em $$(*)$$, obtemos

\[VF = PMT\cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i}.\]

 

Exemplo
Pedro deposita no final de cada mês durante 7 meses a quantia de R$4.500,00 em um fundo que paga juros a uma taxa de 2,5% a.m. Qual o montante no instante do último depósito?

Solução:
A sequência é postecipada, além disso, $$i=2,5%$$, $$PMT=45000$$ e $$n=7$$. Basta aplicarmos a fórmula.
\[VF=4.500\cdot[\frac{(1+2,5%)^{7}-1}{2,5%}]= R\$33.963,44 \].




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