Valor Presente de uma Série Uniforme

No artigo anterior, vimos a definição do Valor Presente para uma série qualquer de pagamentos. Agora, detemo-nos em um caso especial: as séries uniformes. Tais séries de pagamento ocorrem sempre com o mesmo valor para $P G T O$ , seja de depósito ou de retirada, e os períodos entre os depósitos são sempre iguais, partindo o tempo zero do fluxo de caixa.

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Da fórmula exibida no artigo anterior, temos

$V P = \sum_{k = 1}^{n} \frac{P G T O_{k}}{(1 + i)^{t_{k}}} .$

Como a série é uniforme, temos $P G T O_{k} = P G T O$ e $t_{k} = k$ , para $k \in {1, 2, \dots, n}$ , ou seja: as parcelas são iguais e são executadas sempre em períodos constantes. Assim, a fórmula acima é simplificada para

$V P = P G T O \cdot (\frac{1}{(1 + i)} + \dots . + \frac{1}{(1 + i)^{n}} .$

A soma de frações corresponde à soma de uma progressão geométrica com termo $a_{1} = (1 + i)^{- 1}$ e razão $q = (1 + i)^{- 1}$ . Com a fórmula da soma da P.G, obtemos a relação

$\frac{1}{(1 + i)} + \dots . + \frac{1}{(1 + i)^{k}} =$

$(1 + i)^{- 1} \cdot \frac{(1 + i)^{- n} - 1}{(1 + i)^{- 1} - 1} .$

O soma de fatores do denominador torna-se $- i (1 + i)^{- 1}$ . Se multiplicarmos numerador e denominador por $- (1 + i)^{n}$ , teremos, finalmente,

$P V = P G T O \cdot \frac{(1 + i)^{n} - 1}{i (1 + i)^{n}} .$

Exemplo:

Qual é o valor presente de uma série de três pagamentos mensais de R$ 300,00, a uma taxa de 2% ao mês?

Solução:

$P G T O = R $ 300, 00$ ,
$i = 0, 02$ ,
$n = 3$ .

Utilizando a fórmula, temos

$P V = 300 \cdot \frac{(1, 02)^{3} - 1}{0, 02 \cdot (1, 02)^{3}} = R $ 865, 16.$

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