Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).
a) Se $$A$$ e $$B$$ são duas matrizes $$n\times n$$ e $$AB=BA$$, então $$(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$$ para todo número natural $$p$$.
b) Se $$A$$ e $$B$$ são matrizes $$n\times n$$ tais que $$AB=0$$, então $$BA=0$$.
c) Se $$A$$ é uma matriz $$n\times n$$ e $$A^{4}−3A^{2}+7A−I_{n}=0$$, então $$A$$ é invertível (isto é, $$AB=BA=I_{n}$$, para alguma matriz $$B$$, $$(n\times n$$).
Solução:
a) Verdadeiro.
Provaremos por indução finita. Primeiro, verificamos se é válido para $$p=2$$.
De fato, $$(AB)^{2}=ABAB=AABB=A^{2}B^{2}$$.
Note que, pela hipótese de as matrizes comutarem, vale $$ABAB=AABB$$.
Agora, assumimos que vale para $$p$$ e provamos para $$p+1$$.
Se $$(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$$, então \[(AB)^{p+1}=(AB)^{p} (AB)=A^{p}B^{p}AB=A^{p}AB^{p}B=A^{p+1}B^{p+1}\].
b) Verdadeiro.
Por ser $$AB=0$$, então vale $$AB+A=A\Longrightarrow A(B+I)=A$$. Da unicidade da matriz $$I_{n}$$, temos que: ou $$A=I$$, fazendo com que $$(B+I)=I\longrightarrow B=0$$, ou $$A =0$$. O raciocínio análogo valerá para $$B$$.
Deste modo, $$BA=0$$.
c) Verdadeiro.
Basta notar que $$A^{4}-3A^{2} +7A= I$$, em que $$I$$ é a matriz identidade de ordem $$n$$. Daqui, obtemos,
\[A(A^{3}-3A+7I) = A^{4}-3A^{2}+7A = I = (A^{3}-3A+7I)A. \]
Isso mostra que a inversa de $$A$$ é a matriz $$A^{3}-3A+7I$$.
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