Matemática Unicamp

Resolução – UNICAMP 2018 (1ª Fase) – Matemática (continuação 4)

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Questão

Sabendo que 𝑘 é um número real, considere o sistema linear nas variáveis reais 𝑥 e 𝑦,

$$ \left\{\begin{array}{ll} x+ky=1\\ x+y=k \end{array}\right. $$

 

É correto afirmar que esse sistema
a) tem solução para todo 𝑘.
b) não tem solução única para nenhum 𝑘.
c) não tem solução se 𝑘 = 1.
d) tem infinitas soluções se 𝑘 ≠ 1.

Solução:

A matriz aumentada do sistema será $$\left[\begin{array}{ccc}1&k&1\\1&1& k \end{array}\right]$$. Subtraindo da segunda linha a primeira, obtemos a matriz equivalente, $$\left[\begin{array}{ccc}1&k&1\\0&1-k& k-1 \end{array}\right]$$.

Para 𝑘 = 1, teremos $$y0=0$$, isto é, há infinitas soluções para $$y$$ (e, consequentemente, para $$x$$).

Para 𝑘 ≠ 1, teremos $$y=\frac{k-1}{1-k}=-\frac{k-1}{k-1}=-1$$. Substituindo na primeira equação, obtém-se $$x=1+k$$. Isto significa que o sistema tem uma solução.

Resposta: a)


Questão

No plano cartesiano, sejam 𝐶 a circunferência de centro na origem e raio 𝑟 > 0 e 𝑠 a reta de equação 𝑥 + 3𝑦 = 10. A reta 𝑠 intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos
se e somente se

a) 𝑟 > 2.
b) 𝑟 > √5.
c) 𝑟 > 3.
d) 𝑟 > √10.

Solução:


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