Produto Interno – Exercício 2

Questão

Seja $$<,>$$ um produto interno no espaço vetorial real $$F$$. Dado um isomorfismo $$A:E⟶F$$, ponha $$[u,v]=<Au,Av>$$ para quaisquer $$u,v\in E$$. Prove que $$[,]$$ é um produto interno em $$E$$.

• Lista de Exercícios Resolvidos sobre Produtos Internos.

Solução: Serão verificados todos os axiomas de produto interno.

1) Seja $$u\ne 0$$, é certo que $$Au\ne 0$$, pois $$A$$ é um isomorfismo. Porque $$<,>$$ é um produto interno, é certo que $$[u,u]=<Au,Au>>0$$.

2) Seja $$\alpha \ne 0$$, $$[\alpha \cdot u,v]=<A(\alpha u),Av>=<\alpha \cdot Au,Av>=\alpha \cdot <Au,Av>=\alpha \cdot [u,v]$$.

3) $$[u+u^{\prime },v]=<A(u+u^{\prime }),Av>=<Au+A{u}^{\prime },Av>=<Au,Av>+<A{u}^{\prime },Av>=[u,v]+[u^{\prime },v]$$.

4) $$[u,v]=<Au,Av>=<Av,Au>=[v,u]$$.

Nota-se, portanto, que $$[,]$$ é um produto interno no espaço $$E$$.