Exercícios resolvidos de Álgebra Linear sobre Produtos Internos, Complemento Ortogonal, etc.
►Mostre que se $$w_{1},…,w_{k}$$ são vetores não nulos ortogonais entre si e $$x=α_{1} w_{1}+…+α_{k} w_{k}$$, então $$x= proj_{w_{1}} (x)+…+proj_{w_{k}} (x)$$. Solução.
►Seja V o espaço vetorial das matrizes $$n\times n$$ sobre os complexos, com produto interno $$\langle A,B\rangle = tr (AB^{*})$$. Determine o complemento ortogonal do subespaço das matrizes diagonais ($$Diag$$). Solução.
►Seja $$\{u_{1},…,u_{n}\}\subset E$$ uma base ortonormal. Prove que, para $$v,w\in E$$ arbitrários, tem-se $$<v,w>=\sum^{n}_{i=1}<v,u_{i}>\cdot <w,u_{i}>$$. Solução.
►Seja V um espaço vetorial real. Considere que $$\langle . \rangle_{1}$$ e $$\langle . \rangle_{2}$$ são dois produtos internos em V. Prove que a aplicação $$\langle u,w \rangle=\langle u,w \rangle_{1}+\langle u,w \rangle_{2}$$, para quaisquer $$u,v \in V$$, também é um produto interno em V. Solução.
►Seja $$< , >$$ um produto interno no espaço vetorial real $$F$$. Dado um isomorfismo $$A:E\longrightarrow F$$, ponha $$[u,v]=<Au,Av>$$ para quaisquer $$u,v\in E$$. Prove que $$[ , ]$$ é um produto interno em $$E$$. Solução.
►Prove que um operador $$A: E \longrightarrow E$$, num espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, tem posto 1 se, e somente se, existem vetores não-nulos a, b ∈ E tais que $$Av = <v,a>b$$, para todo v ∈ E. Solução.
►Seja X um conjunto de geradores do espaço vetorial E, onde est ´a definido um produto interno. Se os vetores u, v ∈ E são tais que <u,w> = <v,w>, para qualquer w ∈ X, prove que u = v. Solução.
