Subespaços Vetoriais (Exercício 2)

Prove que a reunião de dois subespaços vetoriais de $$E$$ é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro.

Solução:

Sejam os subespaços $$V$$ e $$W$$.

Sem perda de generalidade, digamos que $$V\subset W$$. Então $$V\cup W = W$$. Assim, por hipótese de $$W$$ ser um subespaço, $$V\cup W$$ é um subespaço vetorial de $$E$$.

Reciprocamente, seja $$V\cup W$$ um subespaço vetorial de $$E$$. Diremos que existe $$x_{0}\in V\setminus W$$, e existe $$y_{0}\in W\setminus V$$ (diferença de conjuntos), isto é, $$x_{0}$$ pertence exclusivamente a $$V$$, e $$y_{0}$$ pertence exclusivamente a $$W$$. Assim, $$V\nsubseteq W$$ e $$W\nsubseteq V$$.

Além disso, $$x_{0},y_{0}\in V\cup W$$, logo $$x_{0}+y_{0}\in V\cup W$$.  Deste modo, teremos $$x_{0}+y_{0}\in V$$ ou $$x_{0}+y_{0}\in W$$.

No primeiro caso, como $$ V\ni x_{0}$$ e é espaço vetorial , então $$V\ni x_{0}+y_{0}+(-x_{0})=y_{0}$$. Isto se configura como um absurdo, dado que, por hipótese, $$y_{0}\notin V$$. Sobrará apenas o segundo caso, $$x_{0}+y_{0}\in W$$. Mas, pelo mesmo argumento, $$W\ni x_{0}+y_{0}-y_{0}=x_{0}$$, isto é, tem-se um novo absurdo, por hipótese.

Neste caso, a fim de que seja eliminada a contradição, tem-se ou $$x_{0}\in W$$ ou $$y_{0}\in V$$. Sem perda de generalidade, escolhendo-se $$x_{0}\notin V\setminus W$$, teremos $$x_{0}\in W$$, isto é, não existe $$x_{0}\in V\setminus W$$, logo $$V\subset W$$. O resultado é análogo para $$V$$.

Referências