Subespaços Vetoriais (Exercício 3)

Sejam $$F_{1}$$ e $$F_{2}$$ subespaços vetoriais de $$E$$. Se existir algum $$a\in E$$, para o qual $$a+F_{1}=F_{2}$$, prove que $$F_{1}\subset F_{2}$$.

Solução:

Por definição, $$a+F_{1}=\{a+v; v\in F_{1}\}$$.

Assim, $$a+0=a\in F_{2}$$, pois $$0\in F_{1}$$ (subespaço vetorial), e, consequentemente, é verdade que $$-a\in F_{2}$$.

Para qualquer $$v\in F_{1}$$, sabe-se que $$v+a\in F_{2}$$. Porque $$F_{2}$$ também é um subespaço vetorial, é fato que $$v=v+a+(-a)\in F_{2}$$, isto é: se $$v\in F_{1}$$, tem-se $$v\in F_{2}$$. $$F_{1}\subset F_{2}$$.

Referências